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Théorème de Cayley-Hamilton — Wikipedia (fr)

Source: Wikipedia (fr)
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License (as archived): CC-BY-SA-4.0
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En algèbre linéaire, le théorème de Cayley-Hamilton (tirant son nom des mathématiciens Arthur Cayley et William Rowan Hamilton) affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique. En termes de matrice, cela signifie que si A {\displaystyle A} est une matrice carrée d'ordre n {\displaystyle n} et si p ( X ) = det ( X I n − A ) = X n + p n − 1 X n − 1 + … + p 1 X + p 0 {\displaystyle p(X)=\det(XI_{n}-A)=X^{n}+p_{n-1}X^{n-1}+\ldots +p_{1}X+p_{0}} est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X {\displaystyle X} ), alors en remplaçant formellement X {\displaystyle X} par la matrice A {\displaystyle A} dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle : p ( A ) = A n + p n − 1 A n − 1 + … + p 1 A + p 0 I n = 0 n . {\displaystyle p(A)=A^{n}+p_{n-1}A^{n-1}+\ldots +p_{1}A+p_{0}I_{n}=0_{n}.\;} Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque. Un corollaire important du théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme minimal d'une matrice donnée est un diviseur de son polynôme caractéristique. Bien qu'il porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton, la première démonstration du théorème est donnée par Ferdinand Georg Frobenius en 1878[réf. nécessaire], Cayley l'ayant principalement utilisé dans ses travaux, et Hamilton l'ayant démontré en dimension 2[réf. nécessaire].

Tema degli esploratori: matematica e informatica teorica (deposito sistematico; ricerca «algèbre linéaire»).
Fonte: Wikipedia in francese, voce «Théorème de Cayley-Hamilton» — https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cayley-Hamilton
Wikidata Q656772 (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q656772
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