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Geränderte Hesse-Matrix — Wikipedia (de)

Source: Wikipedia (de)
Original: https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix
License (as archived): CC-BY-SA-4.0
Archived: 2026-11-07T19:12:17.412Z
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Die geränderte Hesse-Matrix (engl. bordered Hessian) dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der „normalen“ Hesse-Matrix verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive oder negative Definitheit untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix die Vorzeichenfolge der Determinante von gewissen Hauptminoren entscheidend. Genauer: Liegen bei einem Extremwertproblem m {\displaystyle m} Nebenbedingungen vor, so betrachtet man die Folge der Vorzeichen derjenigen führenden Hauptminoren von k {\displaystyle k} -ter Ordnung mit k > 2 m {\displaystyle k>2m} . Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach einer Variablen mit einer Nebenbedingung, muss man wegen k > 2 ⋅ 1 = 2 {\displaystyle k>2\cdot 1=2} die Vorzeichen bei den führenden Hauptminoren erst ab 3. Ordnung betrachten (siehe auch nachfolgendes Beispiel). Sei U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} offen. Die Funktion f : U → R {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} } sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in a ∈ U {\displaystyle a\in U} ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung F = 0 {\displaystyle F=0} , wobei F = ( F 1 , … , F m ) : U → R m {\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,\,F_{m}):U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} mit m < n {\displaystyle m<n} . Sei nun L ( λ 1 , … , λ m , x ) := f ( x ) − ∑ i = 1 m λ i F i ( x ) {\displaystyle L(\lambda _{1},\ldots ,\,\lambda _{m},\,x):=f(x)-\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}F_{i}(x)} die Lagrange-Funktion für x ∈ U {\displaystyle x\in U} mit m {\displaystyle m} Hilfsgrößen λ 1 , … , λ m {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}} , die auch Lagrange-Multiplikatoren oder Lagrange-Parameter genannt werden. Die geränderte Hessesche Matrix ist dann die ( n + m ) × ( n + m ) {\displaystyle (n+m)\times (n+m)} -Matrix H ¯ ( λ 1 , … , λ m , a ) := ( 0 … 0 − ∂ F 1 ∂ x 1 … − ∂ F 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 … 0 − ∂ F m ∂ x 1 … − ∂ F m ∂ x n − ∂ F 1 ∂ x 1 … − ∂ F m ∂ x 1 ∂ 2 L ∂ x 1 2 … ∂ 2 L ∂ x 1 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − ∂ F 1 ∂ x n … − ∂ F m ∂ x n ∂ 2 L ∂ x n ∂ x 1 … ∂ 2 L ∂ x n 2 ) ( λ 1 , … , λ m , a ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\overline {H}} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},\,a)&:=\left({\begin{array}{cccccc}0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\end{array}}\right)(\lambda _{1},\ldots ,\l

Tema degli esploratori: scibile generale (retro-catalogo completo della fonte, senza filtro di tema) (deposito sistematico; retro-catalogo: tutte le voci di Wikipedia in tedesco, in ordine alfabetico).
Fonte: Wikipedia in tedesco, voce «Geränderte Hesse-Matrix» — https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix
Wikidata Q2645505: «Matrix zur Klassifikation stationärer Punkte bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen» (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q2645505
Autori: i contributori di Wikipedia (cronologia: https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix?action=history).
Licenza: Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo 4.0 (CC BY-SA 4.0) — https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. Il riuso richiede attribuzione e stessa licenza.
Estratto dell'introduzione non modificato nel contenuto; revisione 261959774, consultata il 2026-11-07T19:08:09.894Z tramite l'API ufficiale di Wikipedia. Impronta SHA-256 dell'estratto: d9d4beeb7d0afc69d682f4fc94dc432c5e89699124241299f63d2819ee8ee109