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Doob-Dynkin-Lemma — Wikipedia (de)

Source: Wikipedia (de)
Original: https://de.wikipedia.org/wiki/Doob-Dynkin-Lemma
License (as archived): CC-BY-SA-4.0
Archived: 2026-10-07T15:05:51.354Z
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Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph L. Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt. Seien X {\displaystyle X} und Y {\displaystyle Y} zwei Abbildungen Ω → R n {\displaystyle \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}} . In Anwendungen ist Ω {\displaystyle \Omega } in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und X {\displaystyle X} und Y {\displaystyle Y} sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man Y {\displaystyle Y} bereits aus X {\displaystyle X} berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion h : R n → R n {\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} gibt, so dass Y = h ∘ X {\displaystyle Y=h\circ X} . Ist nun A {\displaystyle {\mathcal {A}}} eine σ-Algebra auf Ω {\displaystyle \Omega } und ist X {\displaystyle X} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} -messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion h : R n → R n {\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} mit Y = h ∘ X {\displaystyle Y=h\circ X} , dass auch Y {\displaystyle Y} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} -messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man A {\displaystyle {\mathcal {A}}} so klein wie möglich wählt, das heißt wenn A = σ ( X ) := { X − 1 ( B ) ; B ⊂ R n Borelmenge } {\displaystyle {\mathcal {A}}=\sigma (X):=\{X^{-1}(B);\,B\subset \mathbb {R} ^{n}\,{\text{Borelmenge}}\}} , die sogenannte von X {\displaystyle X} erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen X , Y : Ω → R n {\displaystyle X,Y\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}} sind folgende Aussagen äquivalent: Es gibt eine Borel-messbare Funktion h : R n → R n {\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} mit Y = h ∘ X {\displaystyle Y=h\circ X} . Y {\displaystyle Y} ist σ ( X ) {\displaystyle \sigma (X)} -messbar. Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist Y {\displaystyle Y} bezüglich der von X {\displaystyle X} erzeugten σ-Algebra messbar, so kann Y {\displaystyle Y} keine Information enthalten, die nicht bereits in X {\displaystyle X} steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

Tema degli esploratori: matematica e informatica teorica (deposito sistematico; ricerca «Wahrscheinlichkeitstheorie»).
Fonte: Wikipedia in tedesco, voce «Doob-Dynkin-Lemma» — https://de.wikipedia.org/wiki/Doob-Dynkin-Lemma
Wikidata Q1242399 (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q1242399
Autori: i contributori di Wikipedia (cronologia: https://de.wikipedia.org/wiki/Doob-Dynkin-Lemma?action=history).
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