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Calcolo frazionario — Wikipedia

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Original: https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_frazionario
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Il calcolo frazionario è una branca dell'analisi matematica che studia le diverse possibilità di definire una potenza reale o complessa dell'operatore derivata D {\displaystyle D} D f ( x ) = d d x f ( x ) {\displaystyle Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)} , e dell'operatore integrale J {\displaystyle J} J f ( x ) = ∫ 0 x f ( s ) d s {\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}\!\!\!\!f(s){ds}} , e sviluppare un calcolo infinitesimale per questi operatori, generalizzando quelli classici. In questo contesto, il termine potenza si riferisce all'applicazione iterata di un operatore lineare a una funzione, in analogia alla composizione di funzioni nel caso a una variabile, cioè f ∘ 2 ( x ) = f ∘ f ( x ) = f ( f ( x ) ) {\displaystyle f^{\circ 2}(x)=f\circ f(x)=f(f(x))} . Per esempio, ci si potrebbe chiedere se interpretare D = D 1 2 {\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}} come l'analogo della radice quadrata funzionale per un operatore differenziale, cioè un certo operatore lineare che quando applicato due volte a qualsiasi funzione ha lo stesso effetto della derivata. Più in generale, ci si potrebbe chiedere di definire un funzionale lineare D a {\displaystyle D^{a}} per ogni numero reale a {\displaystyle a} in modo tale che, quando a {\displaystyle a} assume un valore intero n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } , coincide con la usuale derivata n {\displaystyle n} -esima D n {\displaystyle D^{n}} se n > 0 {\displaystyle n>0} o con la n {\displaystyle n} -esima potenza di J {\displaystyle J} se n < 0 {\displaystyle n<0} . Una delle motivazioni dietro l'introduzione e lo studio di questa estensione dell'operatore derivata D {\displaystyle D} è che gli insiemi delle potenze { D a | a ∈ R } {\displaystyle \{D^{a}\,|\,a\in \mathbb {R} \}} definite in questo modo sono semigruppi continui con parametro a {\displaystyle a} , di cui l'originale semigruppo discreto di { D n | n ∈ Z } {\displaystyle \{D^{n}\,|\,n\in \mathbb {Z} \}} è un sottogruppo numerabile: poiché i semigruppi continui hanno una teoria matematica ben sviluppata, è interessante applicarli ad altre branche della matematica. Le equazioni differenziali frazionarie, anche conosciute come equazioni differenziali straordinarie, sono una generalizzazione delle equazioni differenziali attraverso l'applicazione del calcolo frazionario.

Tema degli esploratori: matematica e informatica teorica (deposito sistematico; ricerca «equazione differenziale»).
Fonte: Wikipedia in italiano, voce «Calcolo frazionario» — https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_frazionario
Wikidata Q1339058 (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q1339058
Autori: i contributori di Wikipedia (cronologia: https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_frazionario?action=history).
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