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Vettore di Darboux — Wikipedia

Source: Wikipedia (it)
Original: https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_di_Darboux
License (as archived): CC-BY-SA-4.0
Archived: 2026-11-10T08:36:31.342Z
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Vettore di Darboux — Wikipedia — Wikipedia (it), https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_di_Darboux (CC-BY-SA-4.0); archived copy: https://metraipolis.com/documento/dc_7afc75eafdfd (Metraipolis archive dc_7afc75eafdfd, sha256 c3f0541dd97d146bc2cd11d27b3d3d8e13187031adfbdff55b9bc44656272496)

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Nella geometria differenziale, specialmente nella teoria delle curve nello spazio, il vettore di Darboux è il vettore velocità angolare nel sistema di riferimento di Frenet di una curva nello spazio. Prende il nome dal suo ideatore Gaston Darboux. È pure chiamato vettore di momento angolare perché è direttamente proporzionale al momento angolare. In termini delle formule di Frenet-Serret, il vettore ω di Darboux può esprimersi con 𝝎=τ𝐓+κ𝐁(1) e possiede le seguenti proprietà di simmetria 𝝎×𝐓=𝐓′𝝎×𝐍=𝐍′𝝎×𝐁=𝐁′ che possono venire estrapolate dalla equazione (1) per mezzo del teorema di Frenet-Serret (o viceversa). Un corpo rigido si muova lungo una curva regolare descritta da una funzione parametrica β(t). Questo corpo rigido possiede il suo proprio intrinseco sistema di coordinate. Mentre il corpo si muove lungo la curva, manteniamo il sistema di coordinate intrinseco allineato con il riferimento di Frenet della curva. Nell'effettuare ciò, il movimento del corpo verrà descritto da due vettori: un vettore traslatorio, ed un vettore rotazionale ω: che è il vettore velocità areolare: il vettore di Darboux. Si osservi che questa rotazione è cinematica, piuttosto che fisica, poiché quando un corpo rigido si muove liberamente nello spazio usualmente la sua rotazione è indipendente dalla sua traslazione. L'eccezione sarebbe se la rotazione del corpo fosse fisicamente vincolata ad allinearsi con la sua traslazione come nel caso del carrello di una montagna russa. Consideriamo il corpo rigido in movimento dolce lungo una curva regolare. Una volta che la traslazione sia accomunata, il corpo si vede ruotare come ruota il suo riferimento di Frenet. La rotazione totale del riferimento di Frenet è la combinazione delle rotazioni di ciascuno dei tre vettori di Frenet: 𝝎=𝝎𝐓+𝝎𝐍+𝝎𝐁 Ciascun vettore di Frenet ruota attorno a un'origine che è il centro del corpo rigido (punto qualsiasi all'interno del corpo rigido denominato centro). La velocità areolare del vettore tangente è: 𝝎𝐓=limΔt→0𝐓(t)×𝐓(t+Δt)2Δt=12𝐓(t)×𝐓′(t) Similmente 𝝎𝐍=limΔt→0𝐍(t)×𝐍(t+Δt)2Δt=12𝐍(t)×𝐍′(t) 𝝎𝐁=limΔt→0𝐁(t)×𝐁(t+Δt)2Δt=12𝐁(t)×𝐁′(t) Si applichi ora il teorema di Frenet-Serret per determinare le componenti della velocità areolare: 𝝎𝐓=12𝐓×𝐓′=12κ𝐓×𝐍=12κ𝐁𝝎𝐍=12𝐍×𝐍′=12(−κ𝐍×𝐓+τ𝐍×𝐁)=12(κ𝐁+τ𝐓)𝝎𝐁=12𝐁×𝐁′=−12τ𝐁×𝐍=12τ𝐓 cosicché 𝝎=12κ𝐁+12(κ𝐁+τ𝐓)+12τ𝐓=κ𝐁+τ𝐓 come è stato asserito. Il vettore di Darboux fornisce un modo conciso per interpretare la curvatura κ e la torsione τ in modo geometrico: la curvatura è la misura della rotazione del riferimento di Frenet attorno al versore della binormale, mentre la torsione è la misura della rotazione del riferimento di Frenet attorno al versore della tangente.

Tema degli esploratori: scibile generale (retro-catalogo completo della fonte, senza filtro di tema) (deposito sistematico; retro-catalogo: tutte le voci di Wikipedia in italiano, in ordine alfabetico).
Fonte: Wikipedia in italiano, voce «Vettore di Darboux» — https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_di_Darboux
Wikidata Q4010518: «angular velocity vector of the Frenet frame of a space curve» (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q4010518
Autori: i contributori di Wikipedia (cronologia: https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_di_Darboux?action=history).
Licenza: Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo 4.0 (CC BY-SA 4.0) — https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. Il riuso richiede attribuzione e stessa licenza.
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