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Integrale primo — Wikipedia

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Original: https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_primo
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In matematica, in particolare in meccanica razionale, un integrale primo di un problema differenziale n-dimensionale del primo ordine è una funzione differenziabile con continuità che rimane costante lungo le soluzioni del problema. Si tratta di una funzione E {\displaystyle E} la cui parentesi di Poisson con l'hamiltoniana H {\displaystyle {\mathcal {H}}} è nulla: { E , H } = 0 {\displaystyle \lbrace E,{\mathcal {H}}\rbrace =0} La conoscenza di un numero sufficiente di integrali primi di un problema differenziale fornisce delle informazioni aggiuntive. Ad esempio, nel caso unidimensionale: m x ¨ = f ( x ) x ∈ R {\displaystyle m\,{\ddot {x}}=f(x)\qquad x\in \mathbb {R} } essi permettono (sotto opportune ipotesi) di trovare, a meno di integrazioni ed inversioni, espressioni esplicite dei moti tramite separazione delle variabili. In fisica la traiettoria percorsa da un sistema è una soluzione dell'equazione del moto. Un integrale primo dell'equazione del moto è una funzione che rimane costante nel tempo se valutata lungo le possibili traiettorie (leggi orarie) del sistema. Considerando un sistema conservativo (descritto con un campo vettoriale conservativo) dipendente solo dalle coordinate spaziali, l'integrale primo del moto è dato dall'energia meccanica: E ( x , v ) = 1 2 m v 2 + U ( x ) {\displaystyle E(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}+U(x)} Una volta assegnati i dati iniziali ( x 0 , v 0 ) {\displaystyle (x_{0},v_{0})} ed individuato il relativo livello energetico E ( x 0 , v 0 ) {\displaystyle E(x_{0},v_{0})} , è possibile ridurre localmente il problema (nei punti in cui non si annulla la velocità) al calcolo e alla successiva inversione della funzione integrale: t ( x ) = ± ∫ x 0 x 1 2 m [ E − U ( z ) ] d z {\displaystyle t(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\,[E-U(z)]}}}\,dz} con il segno determinato univocamente dai dati iniziali.

Tema degli esploratori: matematica e informatica teorica (deposito sistematico; ricerca «equazione differenziale»).
Fonte: Wikipedia in italiano, voce «Integrale primo» — https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_primo
Wikidata Q12021694 (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q12021694
Autori: i contributori di Wikipedia (cronologia: https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_primo?action=history).
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