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Hauptstreckung — Wikipedia (de)

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Original: https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptstreckung
License (as archived): CC-BY-SA-4.0
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Die Hauptstreckungen λ1,λ2,λ3 bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptwerte der einander mathematisch ähnlichen rechten und linken Deformationstensors U bzw. v. Man erhält die Hauptstreckungen aus der Hauptachsentransformation des Deformationstensors durch Lösung des charakteristischen Polynoms. Im Hauptachsensystem des Deformationstensors geben die Streckungen λ die aktuelle Länge l eines Linienelements bezogen auf seine Ausgangslänge l0 wieder und stehen daher mit der Dehnung ε im Zusammenhang: λ=ll0=l0+Δll0=1+ε. Mithilfe dieser Streckungen lassen sich ebenfalls die Deformationsinvarianten in der Festkörpermechanik (Kontinuumsmechanik der Festkörper) recht einfach darstellen. Denn der rechte und linke Deformationstensor ergeben sich aus der Polarzerlegung 𝐅=𝐑⋅𝐔=𝐯⋅𝐑 des Deformationsgradienten F, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor, der eine Drehung darstellt und die Eigenschaften RT · R = R · RT = 1 und det(R) = +1 besitzt (1 ist der Einheitstensor). Der Deformationsgradient transformiert Linienelemente dX→ im undeformierten Körper in die Linienelemente dx→ des deformierten Körpers: 𝐅⋅dX→=dx→. Damit lautet die Streckung eines Linienelements in der Lagrange’schen Betrachtungsweise: |dx→||dX→|=|𝐅⋅dX→||dX→|=|𝐑⋅𝐔⋅dX→||dX→|=|𝐔⋅dX→||dX→|, denn die Drehung R lässt die Norm unberührt. Sei dX→ Eigenvektor mit Eigenwert λ des positiv definiten rechten Strecktensors U. Dann berechnet sich |dx→||dX→|=|𝐔⋅dX→||dX→|=|λdX→||dX→|=λ=ll0. Für den linken Strecktensor v bestimmt sich in der Euler’schen Betrachtungsweise: 𝐅−1=𝐑⊤⋅𝐯−1→|dx→||dX→|=|dx→||𝐅−1⋅dx→|=|dx→||𝐑⊤⋅𝐯−1⋅dx→|=|dx→||𝐯−1⋅dx→|, wieder weil die Rotation die Norm beibehält. Sei dx→ Eigenvektor mit Eigenwert λ des ebenfalls positiv definiten linken Strecktensors v. Dann zeigt sich 𝐯⋅dx→=λdx→⇔dx→=λ𝐯−1⋅dx→⇔𝐯−1⋅dx→=1λdx→ und weiter |dx→||dX→|=|dx→||𝐯−1⋅dx→|=|dx→||1λdx→|=λ=ll0. Die Hauptstreckungen in der Lagrange’schen- und Euler’schen Betrachtungsweise sind gleich aber die Richtungen, in denen die Hauptstreckungen auftreten, sind gemäß 𝐔⋅v→=λv→⇔𝐑⋅𝐔⋅v→=𝐯⋅𝐑⋅v→=𝐯⋅(𝐑⋅v→)=λ(𝐑⋅v→) gegeneinander verdreht, so wie es die Kreuze im Bild auch nahelegen.

Tema degli esploratori: scibile generale (retro-catalogo completo della fonte, senza filtro di tema) (deposito sistematico; retro-catalogo: tutte le voci di Wikipedia in tedesco, in ordine alfabetico).
Fonte: Wikipedia in tedesco, voce «Hauptstreckung» — https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptstreckung
Wikidata Q15814482 (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q15814482
Autori: i contributori di Wikipedia (cronologia: https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptstreckung?action=history).
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