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Hermitesche Funktion — Wikipedia (de)

Source: Wikipedia (de)
Original: https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Funktion
License (as archived): CC-BY-SA-4.0
Archived: 2026-11-08T16:14:55.403Z
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Hermitesche Funktion — Wikipedia (de) — Wikipedia (de), https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Funktion (CC-BY-SA-4.0); archived copy: https://metraipolis.com/documento/dc_19dfd30be660 (Metraipolis archive dc_19dfd30be660, sha256 ffe2654f4aca3d3ef4dc54a0555f561845930a3c6cb1f017f2edac4dcdf53faf)

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Die Hermiteschen Funktionen h n ( x ) {\displaystyle h_{n}(x)} erhält man aus den Hermiteschen Polynomen H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} , indem man diese mit der Dichte der Gaußschen Normalverteilung multipliziert. h n ( x ) = ( − 1 ) n 2 n n ! π e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 = 1 2 n n ! π H n ( x ) e − 1 2 x 2 , {\displaystyle h_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}(x)e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},} ∫ − ∞ ∞ h n ( x ) h m ( x ) d x = δ n , m n , m = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h_{n}(x)h_{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{n,m}\qquad \qquad n,m=0,1,2,\ldots } Sie sind ein sehr gutes Beispiel für die Definition (Erzeugung) einer orthonormalen Basis, ähnlich der Sinus-/Kosinusfunktionen. Während letztere in der Lage sind, mittels der Spektralanalyse (Fourieranalyse) ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen, erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singulärer Ereignisse. Eine wichtige Bedeutung haben sie in der Physik zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Motiviert durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Quantenmechanik erhält man folgende rekursive Darstellung der hermiteschen Funktionen h n ( x ) = n − 1 2 a † h n − 1 ( x ) , h 0 ( x ) = π − 1 4 e − 1 2 x 2 , {\displaystyle h_{n}(x)=n^{-{\frac {1}{2}}}a^{\dagger }h_{n-1}(x),\qquad h_{0}(x)=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},} dabei ist der Operator a † {\displaystyle a^{\dagger }} definiert durch a † = 1 2 ( x − d d x ) . {\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\Big )}.} Singuläre Ereignisse werden in der Regel durch Intensität, Mittelwert und Standardabweichung charakterisiert. Diese Kennwerte können aber für verschiedene, sehr unterschiedliche Ereignisse identisch sein, so dass sie für die Charakterisierung nicht ausreichen. Daher bestimmt man die sogenannten „höheren statistischen Momente“ als weitere Vergleichsgrößen. Diese sind jedoch sehr empfindlich auf Rauschen und Drift der Nulllinie und daher nur bedingt geeignet. Entwickelt man eine Verteilung in Hermiteschen Funktionen, so sind die Koeffizienten sehr stabil, da die Funktionen nur im zentralen Bereich leben und somit weiter außenliegende Messdaten geeignet dämpfen. Die Entwicklung einer ein Ereignis repräsentierenden Funktion nach Hermiteschen Funktionen hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Wavelet-Transformation.

Tema degli esploratori: scibile generale (retro-catalogo completo della fonte, senza filtro di tema) (deposito sistematico; retro-catalogo: tutte le voci di Wikipedia in tedesco, in ordine alfabetico).
Fonte: Wikipedia in tedesco, voce «Hermitesche Funktion» — https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Funktion
Wikidata Q1613626: «product of Hermitian polynomials with the Gaussian normal distribution» (dati Wikidata in CC0 1.0) — https://www.wikidata.org/wiki/Q1613626
Autori: i contributori di Wikipedia (cronologia: https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Funktion?action=history).
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